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\begin{document}
Remarque sur le DM pour le lundi 3 janvier: la question de la partie
2 : {}``Développer f(x)'' n'a pas de sens puisque l'expression donnée
pour la fonction $f$ est déjà développée.

Pour la méthode de résolution graphique d'équations et inéquations
: voir le manuel page 12


\section{Correction exercice 67p37}

\begin{center}
Enoncé :\includegraphics{67p37}, Constructions : \includegraphics{67p37-equations}
\par\end{center}
\begin{enumerate}
\item Graphiquement l'\textcolor{red}{ensemble de définition} de $f$ est
l'ensemble des abscisses des points de la courbe : $D_{f}=[-3;3]$.
\item Le maximum de $f$ sur $D_{f}$ est $5$, atteint en $-3$ et en $3$.\\
Le minimum de $f$ sur $D_{f}$ est $-4$, atteint en $0$.
\item On lit graphiquement : l'image par $f$ de $0$ est $-4$.\\
Les éventuels antécédents par $f$ de $2$ sont $-2,45$ et $2,45$.
(valeurs approchées) (Rq : cf. les points $A$ et $B$)
\item Pour résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-1$, on trace la droite
d'équation $y=-1$, et on cherche les abscisses des points d'intersection
avec $C_{f}$.\\
L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\{-1,73;1,73\}$ (valeurs
approchées) (cf. points $C$ et $D$)\\
De même, pour résoudre l'équation $f(x)=0$, on trace la droite d'équation
$f(x)=0$ (c'est l'axe des abscisses), et on cherche les abscisses
des points d'intersection avec $C_{f}$.\\
L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\{-2;2\}$ (cf. points $E$
et $F$)
\item Pour résoudre graphiquement l'équation $f(x)\geq3$, on trace la droite
d'équation $y=3$, et on cherche les abscisses des points de $C_{f}$
qui sont au dessus de cette droite : l'ensemble des solutions est
$\mathcal{S}=[-3;-2,65]\cup[2,65;3]$ (valeurs approchées)(cf. les
points $G$ et $H$)
\item Pour le tableau de variation, on commence par chercher les bornes
de l'ensemble de définition ($-3$ et $3$) et les valeurs de la variable
$x$ pour lesquelles $f$ change de sens de variation ($x=0$)\\
\includegraphics{67p37-variations}
\item Pour déterminer le signe de $f$ on commence par chercher pour quelles
valeurs de la variable $x$ la fonction s'annule ($-2$ et $2$) :\\
\includegraphics{67p37-signe}
\item Pour déterminer l'image par $f$ de $x$, on calcule $f(x)$ :\\
$f(-1)=(-1)^{2}-4=1-4=-3$\\
$f(0)=0^{2}-4=-4$\\
$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{2}-4=2-4=-2$
\item Pour trouver les antécédents $x$ de $c$ par $f$, il faut résoudre
l'équation $f(x)=c$.\\
$f(x)=0$$\Leftrightarrow x^{2}-4=0$$\Leftrightarrow(x-2)(x+2)=0$$\Leftrightarrow(x-2=0\, ou\, x+2=0)$$\Leftrightarrow(x=2\, ou\, x=-2)$\\
Les antécedents de $0$ par $f$ sont donc $-2$ et $2$.\\
$f(x)=5$$\Leftrightarrow x^{2}-4=5$$\Leftrightarrow x^{2}-9=0$$\Leftrightarrow(x-3)(x+3)=0$$\Leftrightarrow(x-3=0\, ou\, x+3=0)$$\Leftrightarrow(x=3\, ou\, x=-3)$\\
Les antécédents de $5$ par $f$ sont donc $-3$ et $3$\\
$f(x)=-5$$\Leftrightarrow x^{2}-4=-5$$\Leftrightarrow x^{2}+1=0$$\Leftrightarrow x^{2}=-1$\\
Un carréne peut pas être négatif ($\mathcal{S}=\emptyset$), donc
$-5$ n'a pas d'antécédent par $f$.
\item Résoudre algébriquement $f(x)=1$:\\
$f(x)=1$$\Leftrightarrow x^{2}-4=1$$\Leftrightarrow x^{2}-3=0$$\Leftrightarrow(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$\\
L'ensemble des solutions est $S=\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$
\end{enumerate}

\subsection{Eléments de correction pour le 68p37}

5) Pour résoudre l'équation $f(x)=3x-1$, on trace la droite d'équation
$y=3x-1$ et on cherche les abscisses des points d'intersection de
$C_{f}$ et de cette droite.\\
6) Pour disctuer suivant les valeurs de $k$ le nombre de solutions
de l'équation $f(x)=k$, on doit dire pour quelles valeurs de $k$
l'équation a 0, 1, ou 2 solutions.

Dans cet exercice :\\
L'équation a 0 solution pour : $k\in]-\infty;-4/3]\cup]7;+\infty[$\\
L'équation a 1 solution pour : $k\in\{-4/3\}\cup]4;7]$\\
L'équation a 2 solutions pour : $k\in]-4/3;4[$
\end{document}
