Correction exercice 67p37

Enoncé : , Constructions :

1. Graphiquement l’ensemble de déinition de f est l’ensemble des abscisses des points de la courbe : D_f = [ − 3;3].
2. Le maximum de f sur D_f est 5, atteint en  − 3 et en 3.
   Le minimum de f sur D_f est  − 4, atteint en 0.
3. On lit graphiquement : l’image par f de 0 est  − 4.
   Les éventuels antécédents par f de 2 sont  − 2, 45 et 2, 45. (valeurs approchées) (Rq : cf. les points A et B)
4. Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) =  − 1, on trace la droite d’équation y =  − 1, et on cherche les abscisses des points d’intersection avec C_f.
   L’ensemble des solutions est S = { − 1, 73;1, 73} (valeurs approchées) (cf. points C et D)
   De même, pour résoudre l’équation f(x) = 0, on trace la droite d’équation f(x) = 0 (c’est l’axe des abscisses), et on cherche les abscisses des points d’intersection avec C_f.
   L’ensemble des solutions est S = { − 2;2} (cf. points E et F)
5. Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) ≥ 3, on trace la droite d’équation y = 3, et on cherche les abscisses des points de C_f qui sont au dessus de cette droite : l’ensemble des solutions est S = [ − 3; − 2, 65]∪[2, 65;3] (valeurs approchées)(cf. les points G et H)
6. Pour le tableau de variation, on commence par chercher les bornes de l’ensemble de définition ( − 3 et 3) et les valeurs de la variable x pour lesquelles f change de sens de variation (x = 0)
   
7. Pour déterminer le signe de f on commence par chercher pour quelles valeurs de la variable x la fonction s’annule ( − 2 et 2) :
   
8. Pour déterminer l’image par f de x, on calcule f(x) :
   f( − 1) = ( − 1)² − 4 = 1 − 4 =  − 3
   f(0) = 0² − 4 =  − 4
   f(√2) = (√2)² − 4 = 2 − 4 =  − 2
9. Pour trouver les antécédents x de c par f, il faut résoudre l’équation f(x) = c.
   f(x) = 0 ⇔ x² − 4 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) = 0 ⇔ (x − 2 = 0 ou x + 2 = 0) ⇔ (x = 2 ou x =  − 2)
   Les antécedents de 0 par f sont donc  − 2 et 2.
   f(x) = 5 ⇔ x² − 4 = 5 ⇔ x² − 9 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ (x − 3 = 0 ou x + 3 = 0) ⇔ (x = 3 ou x =  − 3)
   Les antécédents de 5 par f sont donc  − 3 et 3
   f(x) =  − 5 ⇔ x² − 4 =  − 5 ⇔ x² + 1 = 0 ⇔ x² =  − 1
   Un carréne peut pas être négatif (S = ∅), donc  − 5 n’a pas d’antécédent par f.
10. Résoudre algébriquement f(x) = 1:
    f(x) = 1 ⇔ x² − 4 = 1 ⇔ x² − 3 = 0 ⇔ (x − √3)(x + √3) = 0
    L’ensemble des solutions est S = { − √3, √3}

Eléments de correction pour le 68p37