Remarque sur le DM pour le lundi 3 janvier: la question de la partie 2 : ``Développer f(x)'' n'a pas de sens puisque l'expression donnée pour la fonction $f$ est déjà développée.

Pour la méthode de résolution graphique d'équations et inéquations : voir le manuel page 12

Correction exercice 67p37

Enoncé :\includegraphics{67p37}, Constructions : \includegraphics{67p37-equations}
  1. Graphiquement l'ensemble de définition de $f$ est l'ensemble des abscisses des points de la courbe : $D_{f}=[-3;3]$.
  2. Le maximum de $f$ sur $D_{f}$ est $5$, atteint en $-3$ et en $3$.
    Le minimum de $f$ sur $D_{f}$ est $-4$, atteint en $0$.
  3. On lit graphiquement : l'image par $f$ de $0$ est $-4$.
    Les éventuels antécédents par $f$ de $2$ sont $-2,45$ et $2,45$. (valeurs approchées) (Rq : cf. les points $A$ et $B$)
  4. Pour résoudre graphiquement l'équation $f(x)=-1$, on trace la droite d'équation $y=-1$, et on cherche les abscisses des points d'intersection avec $C_{f}$.
    L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\{-1,73;1,73\}$ (valeurs approchées) (cf. points $C$ et $D$)
    De même, pour résoudre l'équation $f(x)=0$, on trace la droite d'équation $f(x)=0$ (c'est l'axe des abscisses), et on cherche les abscisses des points d'intersection avec $C_{f}$.
    L'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=\{-2;2\}$ (cf. points $E$ et $F$)
  5. Pour résoudre graphiquement l'équation $f(x)\geq3$, on trace la droite d'équation $y=3$, et on cherche les abscisses des points de $C_{f}$ qui sont au dessus de cette droite : l'ensemble des solutions est $\mathcal{S}=[-3;-2,65]\cup[2,65;3]$ (valeurs approchées)(cf. les points $G$ et $H$)
  6. Pour le tableau de variation, on commence par chercher les bornes de l'ensemble de définition ($-3$ et $3$) et les valeurs de la variable $x$ pour lesquelles $f$ change de sens de variation ($x=0$)
    \includegraphics{67p37-variations}
  7. Pour déterminer le signe de $f$ on commence par chercher pour quelles valeurs de la variable $x$ la fonction s'annule ($-2$ et $2$) :
    \includegraphics{67p37-signe}
  8. Pour déterminer l'image par $f$ de $x$, on calcule $f(x)$ :
    $f(-1)=(-1)^{2}-4=1-4=-3$
    $f(0)=0^{2}-4=-4$
    $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{2}-4=2-4=-2$
  9. Pour trouver les antécédents $x$ de $c$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=c$.
    $f(x)=0$$\Leftrightarrow x^{2}-4=0$$\Leftrightarrow(x-2)(x+2)=0$$\Leftrightarrow(x-2=0 ou x+2=0)$$\Leftrightarrow(x=2 ou x=-2)$
    Les antécedents de $0$ par $f$ sont donc $-2$ et $2$.
    $f(x)=5$$\Leftrightarrow x^{2}-4=5$$\Leftrightarrow x^{2}-9=0$$\Leftrightarrow(x-3)(x+3)=0$$\Leftrightarrow(x-3=0 ou x+3=0)$$\Leftrightarrow(x=3 ou x=-3)$
    Les antécédents de $5$ par $f$ sont donc $-3$ et $3$
    $f(x)=-5$$\Leftrightarrow x^{2}-4=-5$$\Leftrightarrow x^{2}+1=0$$\Leftrightarrow x^{2}=-1$
    Un carréne peut pas être négatif ($\mathcal{S}=\emptyset$), donc $-5$ n'a pas d'antécédent par $f$.
  10. Résoudre algébriquement $f(x)=1$:
    $f(x)=1$$\Leftrightarrow x^{2}-4=1$$\Leftrightarrow x^{2}-3=0$$\Leftrightarrow(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$
    L'ensemble des solutions est $S=\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$

Eléments de correction pour le 68p37

5) Pour résoudre l'équation $f(x)=3x-1$, on trace la droite d'équation $y=3x-1$ et on cherche les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ et de cette droite.
6) Pour disctuer suivant les valeurs de $k$ le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$, on doit dire pour quelles valeurs de $k$ l'équation a 0, 1, ou 2 solutions.

Dans cet exercice :
L'équation a 0 solution pour : $k\in]-\infty;-4/3]\cup]7;+\infty[$
L'équation a 1 solution pour : $k\in\{-4/3\}\cup]4;7]$
L'équation a 2 solutions pour : $k\in]-4/3;4[$